Question

【题目】如图，在ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．

（1）求证：CF=CD；

（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）DE⊥AF

【解析】

试题（1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF，进而得出CF=CD；

（2）利用全等三角形的判定与性质得出AE=EF，再利用角平分线的性质以及等角对等边求出DA=DF，利用等腰三角形的性质求出即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵点F为DC的延长线上的一点，

∴AB∥DF，

∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，

∵E为BC中点，

∴BE=CE，

则在△BAE和△CFE中，

，

∴△BAE≌△CFE（AAS），

∴AB=CF，

∴CF=CD；

（2）解：DE⊥AF，

理由：∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵∠BAF=∠F，

∴∠DAF=∠F，

∴DA=DF，

又由（1）知△BAE≌△CFE，

∴AE=EF，

∴DE⊥AF．