Question

【题目】如图，在ABCD中，点E是边AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC＝∠DCE，且FB与AD相交于点G．

（1）求证：∠D＝∠F；

（2）用直尺和圆规在边AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP，并加以证明．（作图要求：保留痕迹，不写作法．）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，∠FGE＝FBC，再根据已知∠FBC＝∠DCE，进而可得结论；

（2）作三角形FBC的外接圆交AD于点P即可证明．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC

∴∠FGE＝∠FBC

∵∠FBC＝∠DCE，

∴∠FGE＝∠DCE

∵∠FEG＝∠DEC

∴∠D＝∠F．

（2）如图所示：

点P即为所求作的点．

证明：作BC和BF的垂直平分线，交于点O，

作△FBC的外接圆，

连接BO并延长交AD于点P，

∴∠PCB＝90°

∵AD∥BC

∴∠CPD＝∠PCB＝90°

由（1）得∠F＝∠D

∵∠F＝∠BPC

∴∠D＝∠BPC

∴△BPC∽△CDP．