Question

如图，点O是等边△ABC内一点，以线段OC作等边△OCD，连接OA、AD，若∠AOB=110°，∠BOC=α．
（1）△BOC通过怎样的图形运动可以变成△ADC？（请简要写出运动过程）
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵△OCD是等边三角形
∴∠OCD=60°
∵∠OCB=∠DCA
∴∠BCA=60°
∴△BOC通过顺时针旋转60°变成△ADC．

（2）∵∠BOC=∠ADC，∠ADC=∠ADO+60°，
∵∠AOB=110°，∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-110°-（∠ADO+60°）-60°，
∴∠AOD+∠ADO=130°
∴∠OAD=50°
若∠OAD=∠ADO，则α=110°；
若∠OAD=∠AOD，则α=140°；
若∠AOD=∠ADO，则190°-α=α-60°，α=125°；
故α为110°或140°或125°．
分析：（1）由等边三角形的性质可得到∠OCD=60°，已知∠OCB=∠DCA，从而可得到∠BCA=60°，从而可得到△BOC通过顺时针旋转60°变成△ADC．
（2）根据已知可表示出∠AOD与∠ADO的度数，从而可求得∠OAD的度数，因为没有指明△AOD哪两个边是腰，故应该分情况进行分析，从而求解．
点评：此题主要考查等腰三角形的判定，等边三角形的性质及旋转的性质的综合运用．