Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°
（1）求证：CD是⊙O的切线；    
（2）连接BC，求证：BC=OC．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质由AC=CD，∠D=30°得到∠A=∠D=30°，则∠ACO=∠A=30°，于是根据三角形外角性质得∠DOC=60°，则可根据三角形内角和定理可计算∠OCD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由于∠DOC=60°，而OC=OB，根据等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得到结论．

解答：证明：（1）连结OC，如图，
∵AC=CD，∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠DOC=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠DOC=60°，
而OC=OB，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC=OC．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．