Question

如图AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB于点E，在上取一点F，连接CF交AB于点M，连接DF并延长交BA的延长线于点N．
求证：
（1）∠DFC=∠DOB；
（2）MN•OM=MC•FM．

Answer 1

证明：（1）连接OC，
∵DC⊥AB，OD=OC，
∴∠DOB=∠DOC．
∵∠DFC=∠DOC，
∴∠DFC=∠DOB．

（2）∵∠DFC=∠DOB，
∴∠DFC=∠BOC．
∴∠MFN=∠MOC．
又∵∠FMA=∠OMC，
∴△NFM∽△MOC．
∴=，即MN•OM=MC•FM．
分析：（1）连接OC，由圆周角定理，易知∠DFC=∠DOC，根据垂径定理，易证∠DOB=∠DOC，由此可证得∠DFC=∠DOB；
（2）可通过证△NFM∽△MOC来得出所求的结论．
点评：本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定和性质；证线段积的关系，通常是证这些线段所在的三角形相似．