Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是边长为8的正方形，OA=2，求：
（1）写出A、B、C、D各点的坐标；
（2）若正方形ABCD的两条对角线相交于点P，请求出经过O、P、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上，是否存在一点Q，使△QAB的面积为16？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据OA和正方形的边长即可写出A、B、C、D四点的坐标．
（2）本题的关键是求出P点的坐标，过P作PE⊥x轴于E，根据正方形的性质易知PE是△ABC的中位线，因此PE=4，AE=4，因此P点坐标为（6，4），然后根据得出的O、B、P的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可用△QAB的面积求出Q点的纵坐标的绝对值，然后将其代入抛物线中即可求出Q点坐标．

解答：解：（1）A（2，0）、B（10，0）、C（10，8）、D（2，8）

（2）过P作PE⊥X轴于E
∴PE=AE=

1

2

AB=4，BC=8，OE=6，
∴P（6，4）
设抛物线y=ax（x-10），
即y=ax²-10ax，6²×a-10a×6=4
∴a=-

1

6

故二次函数的解析式为：y=-

1

6

x²+

5

3

x，顶点（5，

25

6

）

（3）存在点Q使△QAB的面积为16，Q₁（4，4）、Q₂（6，4）Q₃（-2，-4）Q₄（12，-4）．

点评：本题考查了正方形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识．