Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，点E，F分别在AB，AC上，把∠A沿着EF对折，使点A落在BC上的点D处．

（1）用尺规作图的方法，在图中找出点E，F的位置，并连接DE，DF（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）若ED⊥BC，求证：四边形AEDF是菱形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）连接AD，作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，点E，F即为所求；（2）根据已知条件易得DE∥AC，所以∠DFC=∠EDF=∠A=60°，再证明△AEF和△DEF都是等边三角形，即可得DF=DE=EF=FA=AE，根据四条边都相等的四边形为菱形即可判定四边形AEDF是菱形．

（1）如图，点E、F为所作；

（2）证明：∵把∠A沿着EF对折，使点A落在BC上的点D处，

∴∠EDF=∠A=60°，∠AFE=∠DFE，

∵ED⊥BC，∠C=90°，

∴DE∥AC，

∴∠DFC=∠EDF=60°，

∴∠AFE=∠DFE=（180°﹣∠EFC）=（180°﹣60°）=60°，

∴△AEF和△DEF都是等边三角形，

∴DF=DE=EF=FA=AE，

∴四边形AEDF是菱形．