Question

【题目】如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．

（1）A点坐标为　 　，B点坐标为　 　；

（2）求证：点D在抛物线上；

（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2，0），（5，0）；（2）见解析；（3）点M的坐标为：（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，即可求解；

（2）证明△OAC≌△DBC（SAS），则BD＝OA＝2，∠OBD＝60°，即可求解；

（3）分OD是平行四边形的边、OD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解．

解：（1）y＝，令y＝0，解得：x＝2或5，

故A点坐标为：（2，0）、B点坐标为（5，0）；

（2）连接CD、BD，

由（1）知：OA＝2，AB＝3，等边三角形ABC的边长为3，

∵△ABC为等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠CAB，∴∠CAO＝120°，

∵∠COD＝60°，且OD＝OC，则△OCD为等边三角形，

∴OD＝CD＝CO，则∠OCD＝60°＝∠OCA+∠ACD，

而∠ACB＝60°＝∠ACD+∠DCB，

∴∠OCA＝∠DCB，

而CO＝CD，CA＝CB，

∴△OAC≌△DBC（SAS），

∴BD＝OA＝2，∠CBD＝∠CAO＝120°，而∠CBO＝60°，

∴∠OBD＝60°，则yD＝﹣BDsin∠OBD＝﹣2×＝﹣，

故点D的坐标为（4，﹣），

当x＝4时，y＝＝﹣，

故点D在抛物线上；

（3）抛物线的对称轴为：x＝，

设点M（，s），点N（m，n），

n＝m2﹣m+5，

①当OD是平行四边形的边时，

当点N在对称轴右侧时，

点O向右平移4个单位，向下平移个单位得到D，

同样点M向右平移4个单位，向下平移个单位得到N，

即：+4＝m，s﹣＝n，而n＝m2﹣m+5，

解得：s＝

则点M（，）；

当点N在对称轴左侧时，

同理可得：点M（，）；

②当OD是平行四边形的对角线时，

则4＝+m，﹣＝n+s，而n＝m2﹣m+5，

解得：s＝，

则点M（，），

故点M的坐标为：（，）或（，）或（，）．