Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E。

(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

(1)见解析(2)

(1)证明：如图D2-2，连结OD．
∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．                     
∴∠0DE=∠CED．                                     
又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．                               
(2)解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，∴∠BOD=∠BAC=60°，
∠C=∠0DB．                                       
又∵OB=OD，∴△BOD是等边三角形．                  
∴∠C=∠ODB=60°，CD=BD=5．                     
∵DE⊥AC，∴DE=CD·sin∠C =5×sin60°=．  
（1）连接OD，根据OA=OB，CD=BD，得出OD∥AC，∠0DE=∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案；
（2）结合（1）中的结论，可以证明△BOD是等边三角形，即可求得CD和BD的长，再根据锐角三角函数即可计算DE的长．