Question

如图，在矩形中ABCD，AB=3，AD=6，点E在边AD上，连接CE，过点E作FE⊥CE交AB于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE；
（2）若DE=4，求CF的长．

Answer 1

分析：（1）利用两角互余的关系得出∠AEF=∠DCE，进而得出△AEF∽△DCE；
（2）利用△AEF∽△DCE，得出

AE

CD

=

AF

DE

，进而得出AF的长，再利用勾股定理求出EC，EF的长，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵FE⊥CE，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠A=∠D，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵△AEF∽△DCE，
∴

AE

CD

=

AF

DE

∵AB=3，AD=6，DE=4，
∴AE=2，CD=3，
∴

2

3

=

AF

4

，
解得；AF=

8

3

，
∴EF=

AF2+AE2

=

10

3

，
EC=

DE2+DC2

=5，
∴FC=

52+( 10 3 )2

=

5 13

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质和勾股定理的应用，根据已知得出AF的长是解题关键．