Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、O两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形ABOP的面积为S平方米．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）求面积S与时间t的关系式；
（3）在P、O两点移动的过程中，能否使△CPO与△ABC相似？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用解直角三角形的性质，cos∠ACB等于∠ACB的邻边除以斜边得出即可；
（2）首先表示出△POC的面积，再利用△ABC减去△POC的面积即可得出答案．
（3）根据△CPO与△ABC相似，则要考虑以下2种情况：①∠POC=90°，②∠OPC=90°，分别求出即可．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
∴AC=

62+82

=10m，
∴cos∠ACB=

BC

AC

=

8

10

=

4

5

，

（2）过点P作PF⊥BC，
∴PF∥AB，
∴

PC

AC

=

PF

AB

，
∵动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/秒的速度从点C出发，
∴

10-2t

10

=

PF

6

，
∴PF=

30-6t

5

，
∴S_△POC=

1

2

×t×

30-6t

5

=

15t-3t2

5

，
∴四边形ABOP的面积为：S=

1

2

×6×8-

15t-3t2

5

=

3

5

t²-3t+24；

（3）若△CPO与△ABC相似，则有以下2种情况：
①∠POC=90°
∵∠ABC=90°，
∴PO∥AB，
∴

CO

BC

=

PC

AC

，
∴

t

8

=

10-2t

10

，
解得：t=

40

13

，
此时，PO=

3

5

(10-2t)=

30

13

，OB=8-t=

64

13

，
以B为原点，
∴P(

64

13

，

30

13

)；
②∠OPC=90°
过P作OP⊥AC于P，
∴

PC

BC

=

OC

AC

，
∴

10-2t

8

=

t

10

解得，t=

25

7

，
此时，PE=

3

5

(10-2t)=

12

7

，BE=8-t=

31

7

以B为原点，∴P(

31

7

，

12

7

)，
综上所述，满足条件的P点的坐标为 (

64

13

，

30

13

)或 (

31

7

，

12

7

)．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角形的面积计算、点的坐标等知识点，要注意第三问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．