题目内容

已知x、y、z都是实数,且x2+y2+z2=1,则m=xy+yz+zx(  )
A、只有最大值B、只有最小值C、既有最大值又有最小值D、既无最大值又无最小值
分析:先用配方法化成m=
1
2
[(x+y+z)2-(x2+y2+z2)]=
1
2
[(x+y+z)2-1]的形式,即可得出最小值,再根据x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,x2+z2≥2xz,三式相加可得最大值.
解答:解:∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz,
∴m=
1
2
[(x+y+z)2-(x2+y2+z2)]=
1
2
[(x+y+z)2-1]≥-
1
2

即m有最小值,
而x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,x2+z2≥2xz,
三式相加得:2(x2+y2+z2)≥2(xy+yz+xz),
∴m≤x2+y2+z2=1,即m有最大值1.
故选C.
点评:本题考查了配方法的应用,难度较大,关键是掌握用配方法求二次函数的最值.
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