题目内容
【题目】已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（6，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△ADE以DE为轴翻折，点A的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线
的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）（﹣1， 
）或（﹣1， 
）；（3）F（﹣1，4）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．
【解析】试题分析：（1）把点A，B的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可．
（2）作DM⊥抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（﹣1，n），由翻折的性质，得到BD=DG；然后求出点D、点M的坐标，以及BC、BD的值；在Rt△GDM中，由勾股定理，求出n的值，即可求出G点的坐标．
（3）分三种情况讨论：①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时；②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时；③当CE∥DF时；然后根据平行四边形的性质，求出点F的坐标各是多少即可．
试题解析：（1）∵抛物线
经过点A（﹣6，0），B（4，0），∴
，解得
，∴抛物线的解析式是： 
；
（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，
，
设G点的坐标为（﹣1，n），由翻折的性质，可得BD=DG，∵B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，∴点D的坐标是（2，4），∴点M的坐标是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，∵B（4，0），C（0，8），∴BC=
=
，∴BD=
，在Rt△GDM中，32+（4﹣n）2=20，解得n=
，∴G点的坐标为（﹣1， 
）或（﹣1， 
）；
（3）抛物线
的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．
①当CD∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，
，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），则
，解得
，∴点F的坐标是（﹣1，4），点C的坐标是（1，0）；
②当CD∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③，
，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），则
，解得
，∴点F的坐标是（﹣1，﹣4），点C的坐标是（﹣3，0）；
③当CE∥DF时，如图④，
，
由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（﹣1，d），
则
，解得： 
，∴点F的坐标是（﹣1，12），点C的坐标是（3，0）；
综上，可得抛物线
的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．
