题目内容
(2012•泉州质检)如图,已知抛物线y=
x2+bx经过点(4,0),顶点为M.
(1)求b的值;
(2)将该抛物线沿它的对称轴向下平移n个单位长度,平移后的抛物线与x轴交于A(6,0)、B两点,与y轴交于C点.①试求n的值;②在第二象限内的抛物线y=
x2+bx上找一个点P,使得:S△PBC=S△MBC,并求出点P的坐标.
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(1)求b的值;
(2)将该抛物线沿它的对称轴向下平移n个单位长度,平移后的抛物线与x轴交于A(6,0)、B两点,与y轴交于C点.①试求n的值;②在第二象限内的抛物线y=
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分析:(1)把点(4,0)代入抛物线的解析式即可求出b的值;
(2)①把(1)的抛物线解析式配方化为顶点式,因为是该抛物线沿它的对称轴向下平移n个单位长度,所以可设抛物线平移后的解析式为y=
(x-2)2-1-n,再把于x轴交点A(6,0)的坐标代入求出n的值即可②过点M作直线PM∥BC交抛物线于P,则S△PBC=S△MBC,设直线BC的解析式为y=kx+m,把B,C的坐标代入求出k为-
,再设直线PM的解析式为y=-
x+b,利用已知条件求出b的值,因为平移后的抛物线与直线PM交于P,所以
(x-2)2-4=-
x+2,进一步解方程求出满足题意的x值,再把x值代入直线PM的解析式求出y即P的纵坐标.
(2)①把(1)的抛物线解析式配方化为顶点式,因为是该抛物线沿它的对称轴向下平移n个单位长度,所以可设抛物线平移后的解析式为y=
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解答:解:(1)把点(4,0)代入抛物线y=
x2+bx,
解得:b=-1;
(2)
①由(1)得:y=
x2-x=
(x-2)2-1,
∴顶点M(2,-1)
设抛物线平移后的解析式为y=
(x-2)2-1-n
∵平移后的抛物线与x轴交于A(6,0),
∴
(6-2)2-1-n=0,
解得:n=3;
②过点M作直线PM∥BC交抛物线于P,则S△PBC=S△MBC,
由①得:平移后的解析式为y=
(x-2)2-4,其图象与x轴交点B(-2,0),
与y轴交点C(0,-3).设直线BC的解析式为y=kx+m
∴
,
解得:
,
∴y=-
x-3
设直线PM的解析式为y=-
x+b,并把M(2,-1)代入得:b=2,
∴y=-
x+2,
∵平移后的抛物线与直线PM交于P,
∴
(x-2)2-4=-
x+2,
整理得:x2+2x-8=0 解得:x1=-4,x 2=2 (不合题意,舍去)
当x1=-4时,y=-
×(-4)+2=8
∴点P(-4,8).
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解得:b=-1;
(2)
①由(1)得:y=
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∴顶点M(2,-1)
设抛物线平移后的解析式为y=
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∵平移后的抛物线与x轴交于A(6,0),
∴
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解得:n=3;
②过点M作直线PM∥BC交抛物线于P,则S△PBC=S△MBC,
由①得:平移后的解析式为y=
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与y轴交点C(0,-3).设直线BC的解析式为y=kx+m
∴
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解得:
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∴y=-
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设直线PM的解析式为y=-
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∴y=-
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∵平移后的抛物线与直线PM交于P,
∴
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整理得:x2+2x-8=0 解得:x1=-4,x 2=2 (不合题意,舍去)
当x1=-4时,y=-
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∴点P(-4,8).
点评:本题考查了二次函数的综合题型,其中涉及到待定系数求出抛物线的解析式,抛物线的顶点公式抛物线的平移不改变二次项的系数;抛物线的平移,看顶点的平移即可;左右平移,只改变顶点的横坐标,左减右加;上下平移,只改变顶点的纵坐标,上加下减.
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