Question

如图，已知A,B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1.若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E ，则△ABE面积的最小值是 _____

Answer 1

根据三角形的面积公式，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C相切时，BE的值最小，根据勾股定理求出AD的值，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度，代入三角形的面积公式进行计算即可求解．
解：如图所示，当AD与⊙C相切时，点BE最短，此时△ABE面积的最小，

∵A（2，0），C（-1，0），⊙C半径为1，
∴AO=2，AC=2+1=3，CD=1，
在Rt△ACD中，AD=，
∵CD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠AOE，
在△AOE与△ADC中，，
∴△AOE∽△ADC，
∴
即，
解得EO=，
∵点B（0，2），
∴OB=2，
∴BE=OB-OE=2-，
∴△ABE面积的最小值=×BE×AO=（2-）×2=2-．
故答案为：2-．