题目内容
【题目】在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点P、E分别是直线BD、BC上的动点，且PE＝PC，过点E作EF∥AC交直线BD于点F
（1）如图1，当∠COD＝90°时，△BEF的形状是
（2）如图2，当点P在线段BO上时，求证：OP＝BF
（3）当∠COD＝60°、CD＝3时，请直接写出当△PEF成为直角三角形时的面积．
【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）
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【解析】
（1）根据对角线互相垂直的矩形是正方形判定矩形ABCD是正方形，再由平行线的性质和正方形的性质得∠FEB＝45°，从而得：△BEF是等腰直角三角形；
（2）根据AAS证明△PEF≌△COP，可得结论；
（3）根据∠COD＝60°，得△COD是等边三角形，则OC＝CD＝3，证明△PFE≌△COP（ASA），得PF＝OC＝3，根据直角三角形30度角的性质计算PE和EF的长，根据三角形的面积公式可得结论．
解：（1）△BEF是等腰直角三角形，理由是：
如图1，∵∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∵EF∥AC，
∴∠FEB＝∠ACB＝45°，∠F＝∠BOC＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OB＝
BD，OC＝AC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠FBE，
∵∠FBE＝∠BEP+∠EPB，∠OCB＝∠PCB+∠OCP，
∵PE＝PC，
∴∠BEP＝∠PCB，
∴∠EPB＝∠OCP，
∵EF∥AC，
∴∠COP＝∠BFE，
∴△PEF≌△CPO（AAS），
∴OC＝PF＝OB，
∴OB﹣PB＝PF﹣PB，
即OP＝BF；
（3）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∵∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝CD＝3，
如图3，当∠PEF＝90°时，
∵EF∥AC，
∴∠POC＝∠OFE＝60°，
∴∠BFE＝120°，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠FEB＝30°，
∵∠FEP＝90°，
∴∠PEC＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PEC是等边三角形，
∴∠PCB＝60°，
∴∠PCO＝60°﹣30°＝30°＝∠FPE，
∴△PFE≌△COP（ASA），
∴PF＝OC＝3，
Rt△PFE中， 
，
；
∴当△PEF成为直角三角形时的面积是．
