Question

如图①，在平行四边形ABCD中，AD=9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm²）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，试解答下列问题：

（1）求出平行四边形ABCD的周长；
（2）请你利用图①解释一下图②中线段MN表示的实际意义；
（3）求出图②中a和b的值．

Answer 1

解：（1）由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，
又因为P点运动的速度为1cm/s，
所以AB=10×1=10（cm），
而AD=9cm，
则平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（10+9）=38（cm）；

（2）线段MN表示的实际意义是：点P在BC边上从B点运动到C点；

（3）由AD=9可知点P在边BC上的运动时间为9s，
所以a=10+9=19；
分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．
由图②知S_△ABD=36，
则×9×BE=36，
解得BE=8，
在直角△ABE中，由勾股定理，得AE==6．
易证△BAE≌△CDF，
则BE=CF=8，AE=DF=6，AF=AD+DF=9+6=15．
在直角△ACF中，由勾股定理，得CA==17，
则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，
所以b=19+17=36．
分析：（1）由图②知点P在AB上运动的时间为10s，根据列出=速度×时间，求出AB=10cm，又AD=9cm，根据平行四边形的周长公式即可求解；
（2）由线段MN∥x轴，可知此时点P虽然在运动，但是△PAD的面积y不变，结合图①，可知此时点P在BC边上运动；
（3）由AD=9可知点P在边BC上的运动时间为9s，a为点P由A→B→C的时间；分别过B点、C点作BE⊥AD、CF⊥AD，易证△BAE≌△CDF，由此得到AE=DF=6，AF=15，从而可求得CA=17s，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17，所以b=19+17=36．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况求出AB的长度是解题的关键，在梯形的问题中，作梯形的高是一种常用的辅助线的作法．