Question

（2012•河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若

AF

EF

=3，求

CD

CG

的值．

（1）尝试探究
在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是

AB=3EH

，CG和EH的数量关系是

CG=2EH

，

CD

CG

的值是

3

2

．
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若

AF

EF

=m（m＞0），则

CD

CG

的值是

m

2

（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若

AB

CD

=a，

BC

BE

=b，（a＞0，b＞0）
，则

AF

EF

的值是

ab

（用含a、b的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）本问体现“特殊”的情形，

AF

EF

=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；
（2）本问体现“一般”的情形，

AF

EF

=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．
（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．

解答：解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．
则有△ABF∽△HEF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

=3，∴AB=3EH．
∵?ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．

CD

CG

=

AB

CG

=

3EH

2EH

=

3

2

．
故填空答案：AB=3EH；CG=2EH；

3

2

．

（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴

AB

EH

=

AF

EF

=m，∴AB=mEH．
∵AB=CD，∴CD=mEH．…5分
∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．
∴

CG

EH

=

BC

BE

=2，∴CG=2EH．…6分
∴

CD

CG

=

mEH

2EH

=

m

2

．
故填空答案：

m

2

．

（3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．
∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，
∴

CD

EH

=

BC

BE

=b，∴CD=bEH．
又

AB

CD

=a，∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，
∴

AF

EF

=

AB

EH

=

abEH

EH

=ab，
故填空答案：ab．

点评：本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．