题目内容
如图，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，3），C点在x轴的正半轴上，且到原点的距离为1．点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同的速度分别向x轴、y轴的正方向作匀速直线运动，直线PQ交直线AB于D．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线及直线AB解析式；
（2）设AP的长为m，△PBQ的面积为S，求出S关于m的函数关系式．
（3）作PE⊥AB于E，当P、Q运动时，线段DE的长是否改变？若改变请说明理由，若不改变，请求出DE的长；
（4）有一个以AB为边的，且由两个与△AOB全等的三角形拼结而成的平行四边形ABST，试求出T点的坐标（画出图形，直接写出结果，不需求解过程）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线及直线AB解析式；
（2）设AP的长为m，△PBQ的面积为S，求出S关于m的函数关系式．
（3）作PE⊥AB于E，当P、Q运动时，线段DE的长是否改变？若改变请说明理由，若不改变，请求出DE的长；
（4）有一个以AB为边的，且由两个与△AOB全等的三角形拼结而成的平行四边形ABST，试求出T点的坐标（画出图形，直接写出结果，不需求解过程）．
（1）由题意得，C（1，0），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
则
，
解得
，
∴设抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
设直线AB的解析式为y=kx+n（k≠0），
则
，
解得
，
∴直线AB的解析式为y=x+3；
（2）∵AP的长为m，点P、Q的速度相同，
∴OP=3-m，AP=QB=m，
∴△PBQ的面积为S=
QB•OP=
m（3-m）=-
m2+
m，
故S关于m的函数关系式为：S=-
m2+
m；
（3）∵A（-3，0）、B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
过点Q作QF⊥AB交AB的延长线于F，
则∠QFB=∠ABO=45°，
∴∠QBF=∠PAE，
在△APE和△BQF中，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF，
在△DEP和△DFQ中，
，
∴△DEP≌△DFQ（AAS），
∴DE=DF，
∵AB=AE+DE+DB=BF+DE+DB=2DE，
∴DE=
AB，
在Rt△AOB中，AB=
=
=3
，
∴DE=
；
（4）如图，AO是平行四边形的边时，点T与坐标原点重合，所以，点T的坐标是（0，0），
BO是平行四边形的边时，AT=OB=3，所以，点T的坐标是（-3，-3）．
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
则
|
解得
|
∴设抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
设直线AB的解析式为y=kx+n（k≠0），
则
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解得
|
∴直线AB的解析式为y=x+3；
（2）∵AP的长为m，点P、Q的速度相同，
∴OP=3-m，AP=QB=m，
∴△PBQ的面积为S=
| 1 |
| 2 |
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| 2 |
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故S关于m的函数关系式为：S=-
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| 2 |
| 3 |
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（3）∵A（-3，0）、B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
过点Q作QF⊥AB交AB的延长线于F，
则∠QFB=∠ABO=45°，
∴∠QBF=∠PAE，
在△APE和△BQF中，
|
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF，
在△DEP和△DFQ中，
|
∴△DEP≌△DFQ（AAS），
∴DE=DF，
∵AB=AE+DE+DB=BF+DE+DB=2DE，
∴DE=
| 1 |
| 2 |
在Rt△AOB中，AB=
| OA2+OB2 |
| 32+32 |
| 2 |
∴DE=
3
| ||
| 2 |
（4）如图，AO是平行四边形的边时，点T与坐标原点重合，所以，点T的坐标是（0，0），
BO是平行四边形的边时，AT=OB=3，所以，点T的坐标是（-3，-3）．
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