Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF=

 

；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是

 

．

Answer 1

分析：（1）根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长即可；
（2）根据对称点的性质，延长FC到P，使FC=PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED+FD最小，即△EDF的周长最小，求出EP长，即可求出答案．

解答：解：（1）∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∵BC=4，
∴EF=

1

2

BC=

1

2

×4=2；

（2）延长FC到P，使FC=PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED+FD最小，即△EDF的周长最小，
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠EFC=90°，FC=PC=

1

2

AC=2

3

，
∵在Rt△EFP中，EP=

EF2+FP2

=

22+(2 3 +2 3 ) 2

=2

13

，
∴△EDF的周长为：EF+FD+ED=2+ED+PD=2+EP=2+2

13

，
故答案为：2；2+2

13

．

点评：本题考查了三角形的中位线的性质及最短路径问题，解题的关键是根据题意找到点D位于哪一位置时三角形的周长最短．