Question

如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是

1. A.
   6
2. B.
   8
3. C.
   9.6
4. D.
   10

Answer 1

C
分析：如图，设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BH⊥AC，垂足分别为M、H，根据∠B=90°可知，点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，可知BH＜BO+OH，故当BH为直径时，直径的值最小，即直径GH也最小，同理可得EF的最小值．
解答：如图，设GH的中点为O，
过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，
在Rt△ABC中，BC=8，AB=6，
∴AC==10，
由面积法可知，BN•AC=AB•BC，
解得BN=4.8，
∵∠B=90°，
∴点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，
又∵BO+OM≥BN，
∴当BN为直径时，直径的值最小，
此时，直径GH=BN=4.8，
同理可得：EF的最小值为4.8，
∴EF+GH的最小值是9.6．
故选C．
点评：本题考查了切线的性质，垂线的性质及勾股定理的运用．关键是明确EF、GH为两圆的直径，根据题意确定直径的最小值．