Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．
小题1:判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
小题2:求证：AE=BF；
小题3:若OG·DE=3(2-)，求⊙O的面积．

Answer 1

小题1:OG⊥CD
小题2:见解析。
小题3:6π

本题考查圆的相关内容。如相切等。本题利用等腰三角形的性质证明Rt△ACE≌Rt△BCF然后利用相似和全等求解相关问题。
(1)猜想：OG⊥CD.
证明：如图，连结OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有CG⊥CD. （3分）
(2)证明： ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACE和Rt△BCF中
∠CAE=∠CBF, ∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC.
∴Rt△ACE≌Rt△BCF
∴AE="BF." （7分）
(3)解:过点O作BD的垂线,垂足为H.则H为BD的中点.
∴OH=AD,即AD=2OH.
又∠CAD=∠BAD ,∴CD="BD," ∴OH=OG.
在Rt△BDE和Rt△ADB中,∠DBE=∠DAC=∠BAD,
∴Rt△BDE∽Rt△ADB, ∴BD=AD·DE=2OG·DE=6(2-)
又BD="FD," ∴BF="2BD." ∴BF=4BD=24(2-).……①
设AC=x,则BC=x,AB=x.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD.
在Rt△ABD和Rt△AFD中，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD.∴AF=AB=x-x=(-1)x
在Rt△BCF中BF=BC+CF=x+[(-1)x] =2(2-)x……②
由①、②解得x=2或-2（舍去）.
∴AB=x=·2=2.
∴S=π·（2）=6π