题目内容

【题目】如图,矩形ABCD的对角线ACBD相交于点O,点EFMN分别为OAOBOCOD的中点,连接EFFMMNNE

1)依题意,补全图形;

2)求证:四边形EFMN是矩形;

3)连接DM,若DMAC于点MON=3,求矩形ABCD的面积.

【答案】(1)补图见解析;(2)证明见解析;(3) 36

【解析】试题分析:(1)见图形;(2)根据三角形的中位线定理,先证四边形EFMN是平行四边形,再通过对角线相等证明四边形EFMN是矩形;(3)OCD是等边三角形。

试题解析:(1)解:如图所示:

2)证明:∵点EF分别为OAOB的中点,∴EFABEF=AB

同理:NMCDMN=DC∵四边形ABCD是矩形,∴ABDCAB=DCAC=BD

EFNMEF=MN∴四边形EFMN是平行四边形,

∵点EFMN分别为OAOBOCOD的中点,∴EO=AOMO=CO

在矩形ABCD中,AO=CO=ACBO=DO=BDEM=EO+MO=AC

同理可证FN=BDEM=FN∴四边形EFMN是矩形.

3)解:∵DMAC于点M,由(2MO=CODO=CD

在矩形ABCD中,AO=CO=ACBO=DO=BDAC=BD

AO=BO=CO=DO∴△COD是等边三角形,∴∠ODC=60°MNDC

∴∠FNM=ODC=60°,在矩形EFMN中,∠FMN=90°∴∠NFM=90°﹣FNM=30°

NO=3FN=2NO=6FM=3MN=3∵点FM分别为OBOC的中点,

BC=2FM=6∴矩形的面积为BCCD=36

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