Question

如图3，在中，，，两点分别在上，，，将绕点顺时针旋转，得到（如图4，点分别与对应），点在上，与相交于点．

（1）求的度数；
（2）求证：四边形是梯形；
（3）求的面积．

Answer 1

（1）30°
（2）证明略
（3）略

分析：（1）根据已知条件容易知道△EDC是等腰直角三角形，也容易求出CE，然后在Rt△ACE解直角三角形就可以求出∠ACE，
（2）根据（1）的结论和已知条件可以证明△D′CA∽△E′CB，再利用相似三角形的性质就可以证明四边形ABCD′是梯形；
（3）AD′M的面积不能直接求出，要采用面积的割补法，首先确定S_△AD′M=S_△ACF-S_△DCF-S_△CD′M，然后分别求出
它们的面积，其中求S_△C′DM比较复杂，还要利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方这个结论，最后才能求出△AD′M的面积．
解答：（1）解：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠DCE=45°，∠EDC=90°，∴DE=CD=2，∴CE=CE′=4．
如图2，在Rt△ACE中，∠E′AC=90°，AC=2，CE′=4，∴cos∠ACE′=，∴∠ACE′=30°．
（2）证明：如图2，∠D′CE′=∠ACB=45°，∠ACE′=30°，∴∠D′CA=∠E′CB=15°，
又，∴△D′CA∽△E′CB． ∴∠D′AC=∠B=45°，∴∠ACB=∠D′AC，∴AD′∥BC．
∵∠B=45°，∠D′CB=60°，∴∠ABC与∠D′CB不互补，∴AB与D′C不平行．
∴四边形ABCD′是梯形．

（3）解：在图②中，过点C作CF⊥AD′，垂足为F．∵AD′∥BC，∴CF⊥BC．
∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°．在Rt△ACF中，AF=CF=，∴S_△ACF=3，
在Rt△D′CF中，CD′=2，∠FCD′=30°，∴D′F=，
∴S_△D′CF=．同理，S_Rt△AE′C=2，S_{Rt△D′E′C}=4． ∵∠AME′=∠D′MC，∠E′AM=∠CD′M，
∴△AME′∽△D′MC．．
①∴S_△AE′M=S_△CD′M．②∵S_△EMC+S_△AE′M=S_△AE′C=2，
③S_△E′MC+S_△CD′M=S_△D′EC=4．由③-②，得S_△C′DM-S_△AE′M=4-2，
由①，得S_△CD′M=8-4，∴S_△AD′M=S_△ACF-S_△DCF-S_△CD′M=3-5．∴△AD′M的面积是3-5．
点评：此题综合性比较强，难度比较大，考查的知识点比较多，有等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、面积的割补法和解直接三角形等．