题目内容
如图3,在
中,
,
,
两点分别在
上,
,
,将
绕点
顺时针旋转,得到
(如图4,点
分别与
对应),点
在
上,
与
相交于点
.

(1)求
的度数;
(2)求证:四边形
是梯形;
(3)求
的面积.


















(1)求

(2)求证:四边形

(3)求

(1)30°
(2)证明略
(3)略
分析:(1)根据已知条件容易知道△EDC是等腰直角三角形,也容易求出CE,然后在Rt△ACE解直角三角形就可以求出∠ACE,
(2)根据(1)的结论和已知条件可以证明△D′CA∽△E′CB,再利用相似三角形的性质就可以证明四边形ABCD′是梯形;
(3)AD′M的面积不能直接求出,要采用面积的割补法,首先确定S△AD′M=S△ACF-S△DCF-S△CD′M,然后分别求出
它们的面积,其中求S△C′DM比较复杂,还要利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方这个结论,最后才能求出△AD′M的面积.
解答:(1)解:如图1,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠DCE=45°,∠EDC=90°,∴DE=CD=2
,∴CE=CE′=4.
如图2,在Rt△ACE中,∠E′AC=90°,AC=2
,CE′=4,∴cos∠ACE′=
,∴∠ACE′=30°.
(2)证明:如图2,∠D′CE′=∠ACB=45°,∠ACE′=30°,∴∠D′CA=∠E′CB=15°,
又
,∴△D′CA∽△E′CB. ∴∠D′AC=∠B=45°,∴∠ACB=∠D′AC,∴AD′∥BC.
∵∠B=45°,∠D′CB=60°,∴∠ABC与∠D′CB不互补,∴AB与D′C不平行.
∴四边形ABCD′是梯形.

(3)解:在图②中,过点C作CF⊥AD′,垂足为F.∵AD′∥BC,∴CF⊥BC.
∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°.在Rt△ACF中,AF=CF=
,∴S△ACF=3,
在Rt△D′CF中,CD′=2
,∠FCD′=30°,∴D′F=
,
∴S△D′CF=
.同理,SRt△AE′C=2
,SRt△D′E′C=4. ∵∠AME′=∠D′MC,∠E′AM=∠CD′M,
∴△AME′∽△D′MC.
.
①∴S△AE′M=
S△CD′M.②∵S△EMC+S△AE′M=S△AE′C=2
,
③S△E′MC+S△CD′M=S△D′EC=4.由③-②,得S△C′DM-S△AE′M=4-2
,
由①,得S△CD′M=8-4
,∴S△AD′M=S△ACF-S△DCF-S△CD′M=3
-5.∴△AD′M的面积是3
-5.
点评:此题综合性比较强,难度比较大,考查的知识点比较多,有等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、面积的割补法和解直接三角形等.
(2)根据(1)的结论和已知条件可以证明△D′CA∽△E′CB,再利用相似三角形的性质就可以证明四边形ABCD′是梯形;
(3)AD′M的面积不能直接求出,要采用面积的割补法,首先确定S△AD′M=S△ACF-S△DCF-S△CD′M,然后分别求出
它们的面积,其中求S△C′DM比较复杂,还要利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方这个结论,最后才能求出△AD′M的面积.
解答:(1)解:如图1,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠DCE=45°,∠EDC=90°,∴DE=CD=2

如图2,在Rt△ACE中,∠E′AC=90°,AC=2


(2)证明:如图2,∠D′CE′=∠ACB=45°,∠ACE′=30°,∴∠D′CA=∠E′CB=15°,
又

∵∠B=45°,∠D′CB=60°,∴∠ABC与∠D′CB不互补,∴AB与D′C不平行.
∴四边形ABCD′是梯形.

(3)解:在图②中,过点C作CF⊥AD′,垂足为F.∵AD′∥BC,∴CF⊥BC.
∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°.在Rt△ACF中,AF=CF=

在Rt△D′CF中,CD′=2


∴S△D′CF=


∴△AME′∽△D′MC.

①∴S△AE′M=


③S△E′MC+S△CD′M=S△D′EC=4.由③-②,得S△C′DM-S△AE′M=4-2

由①,得S△CD′M=8-4



点评:此题综合性比较强,难度比较大,考查的知识点比较多,有等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、面积的割补法和解直接三角形等.

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