Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，⊙O是以BC为直径的圆，点P在AD边上运动（不与A，D重合），BP交⊙O于Q，连接CQ．
（1）设线段BP的长为xcm，CQ的长为ycm．求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）求当

PB

CQ

=

5

6

时，△APB的外接圆及内切圆的面积．（π≈3.14，

10

≈3.16，

8

≈2.83．结果精确到1cm²）

Answer 1

分析：（1）因为BC是圆的直径，所以△BCQ是直角三角形，Rt△ABP和Rt△QCB相似．再利用对应边成比例就可以得到函数关系．
（2）结合（1）先求出PB的长度，PB就是外接圆的直径，再利用Rt△ABP求出AP的长度，根据△ABP的面积就可以求出内切圆的半径，面积也就可以求出了．

解答：解：（1）∵BC是圆的直径，∴∠BQC=90°．
∵∠ABP+∠PBC=90°，∠BCQ+∠PBC=90°．
∴∠ABP=∠BCQ．
在△ABP和△QCB中

∠A=∠BQC=90° ∠ABP=∠BCQ

∴△ABP∽△QCB．
∴

CQ

AB

=

BC

PB

，即

y

6

=

8

x

．
∵点P在AD边上运动，BD=

62+82

=10，
∴函数关系式为y=

48

x

．（6＜x＜10）；

（2）∵

PB

CQ

=

5

6

，∴CQ=

6

5

PB．
∴

48

PB

=

6PB

5

，解得PB=2

10

．
AP=

PB2-AB2

=2．
外接圆的面积S=π（

2 10

2

）²=10π≈31cm²．
设内切圆半径为r，则根据三角形面积有（6+2+2

10

）r=6×2．
解得r=4-

10

．
所以内切圆的面积S=π（4-

10

）²=（26-8

10

）π≈2cm²．

点评：本题考查点较多，运用三角形相似得到对应边成比例从而得到函数关系式．