题目内容
如图,在平面直角坐标系,直线
与x轴、y轴分别相交于A、D两点,点B在y轴上,现将△AOB沿AB翻折180°,使点O刚好落在直线AD的点C处.
(1)求BD的长.
(2)设点N是线段AD上的一个动点(与点A、D不重合),S△NBD=S1,S△NOA=S2,当点N运动到什么位置时,S1S2的值等于90,并求出此时点N的坐标.
(3)在y轴上是否存在点M,使△MAC为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,简述理由.

(1)求BD的长.
(2)设点N是线段AD上的一个动点(与点A、D不重合),S△NBD=S1,S△NOA=S2,当点N运动到什么位置时,S1S2的值等于90,并求出此时点N的坐标.
(3)在y轴上是否存在点M,使△MAC为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,简述理由.

解:(1)∵令y=0,得x=6;
令x=0,得y=8.
∴A(6,0),D(0,8).
∴AD=
=
=10,
∵将△AOB沿AB翻折180°,使点O刚好落在直线AD的点C处,
∴AC=AO=6,DC=AD﹣AC=10﹣6=4.
∵∠D=∠D,∠DCB=∠O=90°,
∴△DBC∽△DAO.
∴DC:DO=DB:DA,即4:8=DB:10,
∴DB=5;
(2)如图1,设N(x,y).

解得x=3,
则y=﹣
(x﹣6)=4,
∴N(3,4);
(3)如图2,∵△MAC为直角三角形,
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°.
若∠MCA=90°,则M与B重合,
∵BD=5,∴M(0,3);
若∠MAC=90°,则△AMD∽△OAD,
∴DM:AD=AD:OD,
∴DM:10=10:8.
∴DM=12.5,OM=12.5﹣8=4.5,
∴M(0,﹣4.5),
综上所述,M点的坐标为M1(0,3),M2(0,﹣4.5).
令x=0,得y=8.
∴A(6,0),D(0,8).
∴AD=


∵将△AOB沿AB翻折180°,使点O刚好落在直线AD的点C处,
∴AC=AO=6,DC=AD﹣AC=10﹣6=4.
∵∠D=∠D,∠DCB=∠O=90°,
∴△DBC∽△DAO.
∴DC:DO=DB:DA,即4:8=DB:10,
∴DB=5;
(2)如图1,设N(x,y).

解得x=3,
则y=﹣

∴N(3,4);
(3)如图2,∵△MAC为直角三角形,
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°.
若∠MCA=90°,则M与B重合,
∵BD=5,∴M(0,3);
若∠MAC=90°,则△AMD∽△OAD,
∴DM:AD=AD:OD,
∴DM:10=10:8.
∴DM=12.5,OM=12.5﹣8=4.5,
∴M(0,﹣4.5),
综上所述,M点的坐标为M1(0,3),M2(0,﹣4.5).


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