题目内容
【题目】如图1,直线交轴于点A,交轴于点C(0,4).抛物线
经过点A,交轴于点B(0,-2).点P为抛物线上一个动点,经过点P作轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图2,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD′P′,且旋转角∠PBP′=∠OAC,当点P的对应点P′落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1);(2)当△BPD为等腰直角三角形时,PD的长为.(3),,.
【解析】
试题分析:(1)先求得点A的坐标,再利用待定系数法求抛物线的解析式即可;(2)设点P的横坐标为,可得P(m,),D(m,-2),若△BPD为等腰直角三角形,则PD=BD.分两种情况:①当点P在直线BD的上方时,PD=,再分点P在y轴的左侧和右侧两种情况,列方程求解即可;②当点P在直线BD的下方时,m>0,BD=m,PD=,列方程求解即可;(3)∵∠PBP/=∠OAC,OA=3,OC=4;∴AC=5,∴sin∠PBP/=,cos∠PBP/=,①当点P/落在x轴上时,过点D/作D/N⊥x轴于N,交BD于点M,∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,如图1,ND/-MD/=2,即×(m2-m)-(-m)=2;如图2,ND/-MD/=2,即×(m2-m)-(-m)=2解得:P(-,)或P(,);②当点P/落在y轴上时,
如图3,过点D/作D/M⊥x轴交BD于点M,过点P/作P/N⊥y轴,交MD/的延长线于点N,∠DBD/=∠ND/P/=∠PBP/,∵PN=BM,即 ×(m2-m)= m∴P(,)
试题解析:(1)由直线过点C(0,4),得n=4,∴.
当y=0时,,解得x=3,∴A(3,0).
∵抛物线经过点A(3,0),B(0,-2),
∴,解得
∴.
(2)设点P的横坐标为,∴P(m,),D(m,-2).
若△BPD为等腰直角三角形,则PD=BD.
①当点P在直线BD的上方时,PD=,
(I)若点P在y轴的左侧,则m<0,BD=-m,
∴,
解得(舍去).
(II)若点P在y轴的右侧,则m>0,BD=m,
∴,
解得.
②当点P在直线BD的下方时,m>0,BD=m,PD=,
∴,
解得.
综上m=.
即当△BPD为等腰直角三角形时,PD的长为.
(3),,.