题目内容

如图,正方形ABCO的边长为数学公式,以O为原点建立平面直角坐标系,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的正半轴上,把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A1B1C1O(α<45°),B1C1交y轴于点D,且D为B1C1的中点,抛物线y=ax2+bx+c过点A1、B1、C1
(1)填空:tanα=______;抛物线的函数表达式是______;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PB1C1为直角三角形?若存在,直接写出所有满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若正方形A1B1C1O以每秒2数学公式个单位长度的速度沿射线A1O下滑,直至顶点B1落在x轴上时停止.设正方形落在x轴上方部分的面积为S,求S关于滑行时间t的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围.

解:(1)①∵四边形A1B1C1O为正方形,
∴OC1=B1C1,∠OC1B1=90度.
又∵D是B1C1的中点,

∵由旋转性质可知,∠C1OD=∠AOA1=α,
∴在Rt△C1OD中,tanα=
∴tanα的值是
②过点A1作A1E⊥x轴,垂足为点E.
在Rt△A1EO中,tanα=

设A1E=k,则OE=2k,在Rt△A1EO中,
根据勾股定理,得A1E2+OE2=OA12

解得k1=-1(舍),k2=1.
∴A1E=1,OE=2.
又∵点A1在第二象限,
∴点A1的坐标为(-2,1).
直接写出点B1的坐标为(-1,3),点C1的坐标为(1,2).
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A1,B1,C1

解得
∴抛物线的函数表达式为

(2)将(1)的抛物线解析式配方,得
∴抛物线的对称轴是直线
假设存在符合条件的点P,分三种情况:
①以点B1为直角顶点;
易求得,直线A1B1的解析式:y=2x+5,
当x=-时,y=2×(-)+5=
②以点C1为直角顶点;
易求得,直线OC1的解析式:y=2x,
当x=-时,y=2×(-)=-
③以点P为直角顶点;
分别过点B1、C1作抛物线对称轴的垂线,垂足为G、H;(如右图)
设点P(-,y):
当点P在直线B1C1上方时,
B1G=1-=、PG=y-3、C1H=1+=、PH=y-2
∵∠B1PG=90°-∠C1PH=∠PC1H,∠B1GP=∠PHC1=90°
∴△B1GP∽△PHC1,则
解得:y=、y=(舍);
当点P在直线B1C1下方时,同上,可求得y=
综上,存在点P,使△PB1C1为直角三角形.
满足条件的点P共有4个:

(3)设运动后的正方形为O′A′B′C′,分三种情况:
①当点A′运动到x轴上时,t=
当0<t≤时,如图①;
OO′=2t,O′E=OO′=t
∴S=S正方形-S△OO′E=5-×2t=-5t2+5;
②当点C′运动到x轴上时,t=1;
<t<1时,如图②;
OO′=2t,OA′=2t-,A′F=OA′=,O′E=OO′=t
B′F=A′B′-A′F=,C′E=O′C′-O′E=-t;
∴S=(B′F+C′E)×B′C′=+-t)×=
③当点B′运动到x轴上时,t=
当1≤t<时,如图③;
同②可得:B′F=A′B′-A′F=,B′E=2B′F=3-2t;
∴S=××(3-2t)=5t2-15t+
综上,S=

分析:(1)①在Rt△ODC1中,由旋转的性质知,∠DOC1=α,而DC1是正方形边长的一半,可据此求出∠α的正切值;
②在求抛物线的解析式中,必须先求出A1、B1、C1三点的坐标,可过这三点分别作坐标轴的垂线(具体向哪条坐标轴作垂线,可视情况而定),通过构建的直角三角形以及∠α的正切值,可求出这三点的坐标,再利用待定系数法求函数解析式即可.
(2)首先要大致确定有几个符合条件的点P:
①点B1是直角顶点,那么点P必为直线A1B1与抛物线对称轴的交点(有一个);
②点C1是直角顶点,那么点P必为直线OC1与抛物线对称轴的交点(有一个);
③点P是直角顶点,那么点P必为以线段B1C1为直径的圆与抛物线对称轴的交点(有两个),可过B1、C1作对称轴的垂线,通过构建的相似三角形来求出点P的坐标.
(3)此题的思路并不复杂,但需要考虑的情况较多,大致分成三段考虑即可:
①x轴在O、A1两点之间、②x轴在A1、C1两点之间、③x轴在B1、C1两点之间.
点评:此题涉及的内容相等复杂,难度很大,主要考查的知识点有:函数解析式的确定、正方形的性质、图形的旋转、解直角三角形的应用、相似三角形与直角三角形的判定和性质以及图形面积的解法等等.后两题涉及的情况较多,一定要注意分类讨论.最后一题中,一定要注意t的不同取值范围内,正方形的运动位置.
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