题目内容
如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线，
（1）求证：AB=AC+CD．
（2）如果BD=4，求AC的长．
（1）求证：AB=AC+CD．
（2）如果BD=4，求AC的长．
（1）证明：过点D作DP⊥AB于点P，
∵在△ABC中，∠C=90°，
即CD⊥AC，
∵AD是角平分线，
∴CD=PD，∠ADP=∠ADC，
∴AP=AC，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴DP=PB，
∴AC+CD=AB；
（2）∵BD=4，∠BPD=90°，∠B=45°，
∴DP=BP=BD•cos45°=2
，
∴AC=BC=BD+CD=BD+PD=4+2
．
∵在△ABC中，∠C=90°，
即CD⊥AC，
∵AD是角平分线，
∴CD=PD，∠ADP=∠ADC，
∴AP=AC，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴DP=PB，
∴AC+CD=AB；
（2）∵BD=4，∠BPD=90°，∠B=45°，
∴DP=BP=BD•cos45°=2
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∴AC=BC=BD+CD=BD+PD=4+2
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