题目内容
【题目】已知：如图数轴上两点A、B所别应的分别为﹣3、1，点P在数轴上从点A出发以每秒钟2个单位的长度的速度向右运动，点Q在数轴上从点B出发以每秒钟1个单位长度的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）直接写出线段AB的中点所对应的数及t秒后点P所对应的数．
（2）若点P和点Q同时出发，求点P和点Q相遇时的位置所对应的数；
（3）若点P比点Q迟1秒钟出发，问点P出发几秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度．并问此时数轴上是否存在一个点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小？若存在，直接写出点C所对应的数；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）点P所对应的数是﹣3+2t；（2）－
；（3）存在，当P出发
秒或
秒时，P和Q相距1个单位长度，此时点C所表示的数分别为﹣
和﹣
【解析】
（1）根据点A表示的数为-3，点B表示的数为1，根据中点坐标公式即可得到AB的中点所对应的数，进一步利用点的平移规律求得点P对应的数；
（2）可设经过x秒钟点P和点Q相遇，由路程和是AB的长，列出方程求解，进一步得出相遇点的位置即可；
（3）设点P出发y秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度，列出方程解答，分别求得P、Q点表示的数，设出点C表示的数，进一步利用两点之间的距离求得最小值即可．
（1）线段AB的中点所对应的数是
=﹣1，点P所对应的数是﹣3+2t；
（2）设经过x秒钟点P和点Q相遇，由题意得
2x+x=1﹣（﹣3）
解得：x=，
点P和点Q相遇时的位置所对应的数为﹣3+2×=﹣；
（3）①设点P出发y秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度，由题意得
y12y+y=4﹣1，
解得：y=，
点P表示为﹣3+×2=﹣，点Q表示为1﹣（1+）×1=﹣，
设此时数轴上存在一个点C，点C表示的数为a，由题意得
AC+PC+QC=|a+3|+|a+|+|a+|，
要使|a+3|+|a+|+|a+|最小，当点C与P重合时，即a=﹣时，点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小．
②若点P和点Q在相遇后相距1个单位长度，则2t=1×（t+1）=4+1
解得t=
故P出发秒后，点P和点Q也可相距1个单位长度
此时满足条件的点C即点Q，所表示的数位﹣
综上所述，当P出发秒或秒时，P和Q相距1个单位长度，此时点C所表示的数分别为﹣和﹣
