Question

23、已知△ABC，O是△ABC所在平面内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2．
（1）如图（1），当点O与点A在直线BC的异侧时，∠1+∠2+∠A+∠O=

360

°；
（2）如图（2），当点O在△ABC的内部时，∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间满足什么样的数量关系？请说明你的理由；
（3）当点O在△ABC所在平面内运动时（点O不在三边所在的直线上），由于所处的位置不同，∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间满足的数量关系还存在着与（1）、（2）中不同的结论，你能否在图（3）中画出一种不同的示意图，并直接写出相应的结论．

Answer 1

分析：（1）根据四边形内角和定理解答即可；
（2）连接OA，并延长交BC于D点，根据三角形内角与外角的性质解答即可；
（3）根据题意画出图形，再写出结论．

解答：解：（1）如图（1），当点O与点A在直线BC的异侧时，
∵AB、OB、OC、AC四条线段正好构成四边形，
∴∠1+∠2+∠A+∠O=360°；

（2）连接OA，并延长交BC于D点，
∵∠BOD是△AOB的外角，∴∠OAB+∠1=∠BOD，
∵∠COD是△AOB的外角，∴∠OAC+∠2=∠COD，
∴∠OAB+∠1+∠OAC+∠2=∠COD+∠BOD，
即∠1+∠2+∠A=∠O．

（3）如图所示，∠A=∠2+∠O-∠1．
在△ABD中，∠4=180°-∠A-∠1，
∵∠3=∠4，
∴∠3=180°-∠A-∠1，
∴∠3+∠2+∠O=180°，
∴180°-∠A-∠1+∠2+∠O=180°，
整理得，∠A=∠2+∠O-∠1．

点评：本题考查的知识点为：
（1）三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；
（2）对顶角相等；
（3）任意四边形的内角和为360°．