题目内容

边长为1的正方形ABCD中，E，F为对角线BD上的动点．
（Ⅰ）证明：AE+AF=CE+CF；
（Ⅱ）①求AE+CE的最小值；②求AE+BE+CE的最小值；
（Ⅲ）若∠EAF=45°，DF=2BE，求四边形AECF的面积．

（I）证明：

∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
同理：AF=CF．
∴AE+AF=CE+CF．

（Ⅱ）解：①当A，C，E在同一直线上是最短的．
∴AC=AE+EC= $\text{[math]}$ ．
②当B点和E点重合时是最短的．
AE+BE+CE=AB+BC=2．

（Ⅲ）解：连接AC交BD于O，设DF=2x，BE=x，

由勾股定理得：AO= $\text{[math]}$ =BO=OD，BD= $\text{[math]}$ ，
即EF=BD-BE-DF= $\text{[math]}$ -3x，DE=BD-BE= $\text{[math]}$ -x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°=∠EAF，
∵∠AEF=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AE²=DE•EF=（ $\text{[math]}$ -x）•（ $\text{[math]}$ -3x），
在直角三角形AEO中，由勾股定理得：AE²=AO²+EO²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴（ $\text{[math]}$ -x）（ $\text{[math]}$ -3x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
解得：x= $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ （舍去），x= $\text{[math]}$ ，
∴EF= $\text{[math]}$ -3x= $\text{[math]}$
∴四边形AECF的面积是 $\text{[math]}$ EF×AC= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（I）根据全等三角形判定和正方形性质求出△ABE≌△CBE，推出AF=CF，AE=CE即可；
（II）根据两点之间线段最短，求出点E的位置即可；
（III）连接AC交BD于O，设DF=2x，BE=x，由正方形性质和勾股定理求出AO，OB，AC，BD的长，证△AEF∽△DEA，求出AE的平方的值，在Rt△AOE中，根据勾股定理求出AE的平方的值，得出方程，求出x的值，根据面积公式求出即可．
点评：本题综合运用了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，轴对称和最短问题等知识点，此题有一点难度，对学生有较高的要求，第三问得出关于x的方程是解此题的难点．