Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；
（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A、B、D的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=5，

∴点C的坐标为（5，4），

∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），

∴ ，

解得 ．

故抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：连结BD交对称轴于G，

在Rt△OBD中，易求BD=5，

∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，

又∵∠DCB=∠CBE，

∴∠DBC=∠CBE，

过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，

易证GH=HN，

∴点G与点M重合，

故直线BD的解析式y=﹣ x+4

根据抛物线可知对称轴方程为x= ，

则点M的坐标为（ ， ），即GF= ，BF= ，

∴BM= = ，

又∵MN被BC垂直平分，

∴BM=BN= ，

∴点N的坐标为（ ，0）

（3）

解：过点M作直线交x轴于点P1，连结CE．

易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，

由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P1M必与线段CD相交，

设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），

假设点P在对称轴的左侧，则P1F= ﹣a，P1E=7﹣a，

由△MKQ1∽△MFP1，得 = ，

易求Q1K=5P1F=5（ ﹣a），

∴CQ1= ﹣5（ ﹣a）=5a﹣10，

∴S2= （5a﹣10+7﹣a）×4=28× ，

解得：a= ，

根据P1（ ，0），M（ ， ）可求直线P1M的解析式为y= x﹣6，

若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=﹣ x+

【解析】（1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；（3）过点M作直线交x轴于点P1 ， 分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．