Question

【题目】已知四边形是菱形，点分别在上，且，点分别在上，与相交于点．

(1)如图1，求证：四边形是菱形；

(2)如图2，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积相等的四边形

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形MBFE与四边形DNEG，四边形MBCG与四边形DNFC，四边形ABFE与四边形ADGE，四边形ABFN与四边形ADGM．

【解析】

（1）由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM＝DN，可得AM＝AN，即可证得四边形AMEN是菱形；
（2）根据四边形AMEN是菱形得到ME=NE，S△AEM＝S△AEN，作出辅助线，证明△MHB≌△NKD（AAS），得到MH=NK，从而得到S四边形MBFE＝S四边形DNEG，继而求得答案．

（1）证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵BM＝DN，
∴ABBM＝ADDN，
∴AM＝AN，
∴四边形AMEN是菱形；
（2）解：∵四边形AMEN是菱形，

∴ME=NE，∴S△AEM＝S△AEN，

如图所示，过点M作MH⊥BC于点H，过点N作NK⊥CD于点K，

∴∠MHB=∠NKD=90°

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D，

∵BM=DN，

∴△MHB≌△NKD（AAS），

∴MH=NK

∴S四边形MBFE＝S四边形DNEG，

∴S四边形MBCG＝S四边形DNFC，S四边形ABFE＝S四边形ADGE，S四边形ABFN＝S四边形ADGM．

∴面积相等的四边形有：四边形MBFE与四边形DNEG，四边形MBCG与四边形DNFC，四边形ABFE与四边形ADGE，四边形ABFN与四边形ADGM．