题目内容

【题目】在梯形中,,点在直线上,联结,过点的垂线,交直线与点

1)如图1,已知,:求证:

2)已知:

当点在线段上,求证:

当点在射线上,①中的结论是否成立?如果成立,请写出证明过程;如果不成立,简述理由.

【答案】1)证明见解析;

2)①证明见解析;②结论仍然成立,证明见解析.

【解析】

1)过FFMAD,交AD的延长线于点M,通过AAS证明ABE≌△EMF,根据全等三角形的性质即可得出ABAD

2)①在AB上截取AGAE,连接EG.通过ASA证明BGE≌△EDF,根据全等三角形的性质即可得出BEEF

1)如图:

FFMAD,交AD的延长线于点M

∴∠M=90°

∵∠BEF=90°

∴∠AEB+MEF=90°

∵∠A=90°

∴∠ABE+AEB=90°

∴∠MEF=ABE

ABEEMF中,

∴△ABE≌△EMF(AAS)

AB=MEAE=MF

AMBC,∠C=45°

∴∠MDF=C=45°

∴∠DFM=45°

DM=FM

DM=AE

DM+ED=AE+ED

AD=EM

AB=AD

2)①证明:如图,

AB上截取AGAE,连接EG,则∠AGE=∠AEG

∵∠A90°,∠A+∠AGE+∠AEG180°

∴∠AGE45°

∴∠BGE135°

ADBC

∴∠C+∠D180°

又∵∠C45°

∴∠D135°

∴∠BGE=∠D

ABADAGAE

BGDE

EFBE

∴∠BEF90°

又∵∠A+∠ABE+∠AEB180°

AEB+∠BEF+∠DEF180°

A90°

∴∠ABE=∠DEF

在△BGE与△EDF中,

∴△BGE≌△EDFASA),

BEEF

②结论仍然成立,证明如下,

如图:

延长BA到点G,使BG=ED,连接EG

则△EAG是等腰直角三角形,

∴∠EGB=45°

EDBC,∠C=45°

∴∠FDE=45°

∴∠FDE=45°

∴∠EGB=FDE

∵∠A=90°

∴∠AEB+ABE=90°

EFEB

∴∠FED+AEB=90°

∴∠AEB=FED

在△BGE与△EFD中,

∴△BGE≌△EDFASA),

BEEF.

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