Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，点D为⊙O上一点，连接BD、AD、CD，AD交BC于点E，作AG⊥CD于点G交BC于点F，∠ADB＝∠ABC．

（1）如图1，求证：AB＝AC；

（2）如图2．若BC为直径，求证：EF2＝BE2+CF2

（3）如图在（1）的条件下，若∠ADC＝60°，6CE＝5BF，DG＝，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）圆O的半径为．

【解析】

(1)只需说明∠ABC=∠ACB即可；

(2)将△AFC绕点A顺时针旋转90°至△AHB，连接HE，再证明△AHE和△AFE全等，在Rt△BHE中由勾股定理即可得出结论；

(3)首先证明△ABC是等边三角形，再证明AD=BD+CD，接着通过计算得出BE、EF、FC三条线段之比，注意到∠BDC=120°，解三角形BDC可求出BC长度，利用垂径定理即可求得半径长度．

(1)证明：∵∠ADB=∠ACB，∠ADB=∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

(2)∵BC是直径，

∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

如图2，将△AFC绕点A顺时针旋转90°至△AHB，连接HE．

则BH=CF，∠ABH=∠ACF=45°，∠FAC=∠HAB，AH=AF，

∴∠HBE=∠ABH+∠ABC=90°，

∵AG⊥CD于G，

∴∠AGD=90°，

∵∠ADC=∠ABC=45°，

∴∠DAG=45°，

∴∠FAC+∠BAE=∠BAC-∠DAG=90°-45°=45°，

∴∠BAH+∠BAE=45°，即∠HAE=45°，

∴∠HAE=∠FAE，

在△AHE和△AFE中：

，

∴△AHE≌△AFE(SAS)，

∴HE=FE，

在Rt△BHE中，由勾股定理有：HE2=BH2+BE2，

∴EF2=CF2+BE2；

(3)∵∠ADB=∠ABC=∠ACB=∠ADC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

如图3，延长DC至N，使CN=BD，连接AN，

∵∠ABD+∠ACD=∠ACD+∠ACN=180°，

∴∠ABD=∠ACN，

在△ABD和△ACN中：

，

∴△ABD≌△ACN(SAS)，

∴AD=AN，

∵∠ADC=60°，

∴△ADN是等边三角形，

∴AD=DN=DC+CN=DC+BD．

将△AFC绕点A顺时针旋转60°至△AMB，连接EM，

则∠MBA=∠FCA=60°，∠MAB=∠FAC，AM=AF，MB=CF，

∵AG⊥DC于G，∠ADC=60°，

∴∠EAF=30°，

∴AD=2DG，

∴∠BAE+∠FAC=∠BAC﹣∠EAF=30°，

∴∠BAE+∠BAM=30°，即∠MAE=∠FAE=30°，

在△MAE和△FAE中：

，

∴△MAE≌△FAE(SAS)，

∴ME=FE，

作MQ⊥BC于Q，

∵∠MBE=∠MBA+∠ABE=120°，

∴∠MBQ=60°，

设BE=x，CF=BM=y，

则BQ=，MQ=，

∴QE=BQ+BE=+x，

∴ME==，

∴EF=ME=，

∵6CE=5BF，

∴6(y+)=5(+x)，

∴=6y﹣5x，

整理得：(3x﹣5y)(8x﹣7y)=0，

∵x＞y，所以3x=5y，

设x=5k，y=3k，则EF=7k，

∴AC=BC=BE+EF+CF=15k，

∵∠DBE=∠DAC，∠BDE=∠ADC=60°，

∴△DBE△DAC，

∴，

∴AD=3BD，

又∵BD+CD=AD，

∴CD=2BD，

∴CD=AD，

∵DG=AD=，

∴AD=，

∴BD=AD=，CD=AD=，

作CH⊥BD于H，则∠CHD=90°，∠CDH=180°﹣∠CDB=60°，

∴DH=CD=，CH=DH =，

所以BH=BD+DH=，

所以CB==8，

连接OB、OC，则OB=OC，∠BOC=2∠BAC=120°，

作OP⊥BC于P，∠BOP=∠BOC=60°，BP=BC=4，

∴OB===，即圆O的半径为．