Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，AB=4cm，动点P从点C出发，在BC边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q也从点C出发，沿C→A→B以每秒4cm的速度匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ，以PQ为直径作⊙O．

（1）当时，求△PCQ的面积；

（2）设⊙O的面积为s，求s与t的函数关系式；

（3）当点Q在AB上运动时，⊙O与Rt△ABC的一边相切，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）t的值为或1或．

【解析】

（1）先根据t的值计算CQ和CP的长，由图形可知△PCQ是直角三角形，根据三角形面积公式可得结论；

（2）分两种情况：①当Q在边AC上运动时，②当Q在边AB上运动时；分别根据勾股定理计算PQ2，最后利用圆的面积公式可得S与t的关系式；

（3）分别当⊙O与BC相切时、当⊙O与AB相切时，当⊙O与AC相切时三种情况分类讨论即可确定答案．

（1）当t=时，CQ=4t=4×=2，即此时Q与A重合，

CP=t=，

∵∠ACB=90°，

∴S△PCQ=CQPC=×2×=；

（2）分两种情况：

①当Q在边AC上运动时，0＜t≤2，如图1，

由题意得：CQ=4t，CP=t，

由勾股定理得：PQ2=CQ2+PC2=（4t）2+（t）2=19t2，

∴S=π=；

②当Q在边AB上运动时，2＜t＜4如图2，

设⊙O与AB的另一个交点为D，连接PD，

∵CP=t，AC+AQ=4t，

∴PB=BC﹣PC=2﹣t，BQ=2+4﹣4t=6﹣4t，

∵PQ为⊙O的直径，

∴∠PDQ=90°，

Rt△ACB中，AC=2cm，AB=4cm，

∴∠B=30°，

Rt△PDB中，PD=PB=，

∴BD=，

∴QD=BQ﹣BD=6﹣4t﹣=3﹣，

∴PQ==，

∴S=π==；

（3）分三种情况：

①当⊙O与AC相切时，如图3，设切点为E，连接OE，过Q作QF⊥AC于F，

∴OE⊥AC，

∵AQ=4t﹣2，

Rt△AFQ中，∠AQF=30°，

∴AF=2t﹣1，

∴FQ=（2t﹣1），

∵FQ∥OE∥PC，OQ=OP，

∴EF=CE，

∴FQ+PC=2OE=PQ，

∴（2t﹣1）+t=，

解得：t=或﹣（舍）；

②当⊙O与BC相切时，如图4，

此时PQ⊥BC，

∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，

∴cos30°=，

∴，

∴t=1；

③当⊙O与BA相切时，如图5，

此时PQ⊥BA，

∵BQ=6﹣4t，PB=2﹣t，

∴cos30°=，

∴，

∴t=，

综上所述，t的值为或1或．