Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒．
（1）若点P的速度3厘米/秒，用含t的式子表示第t秒时，BP=

3t

厘米，CP=

（8-3t）

厘米．
（2）如果点P的速度是3厘米/秒，t为何值时，△BPD和△CPQ恰好是以点B和C为对应点的全等三角形全等？
（3）如果点P比点Q的运动速度每秒快1厘米，t为何值时，△BPD和△CPQ恰好都是以∠B、∠C为顶角的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根据路程=速度×时间就可以得出结论；
（2）分类讨论，当△BPD≌△CPQ和△BPD≌△CQP时，由全等三角形的性质就可以求出结论；
（3）设P的速度为a厘米/秒，则Q的速度为（a-1）厘米/秒，就有at=5，PC=8-5=3=t（a-1）就可以求出t的值．

解答：解：（1）由题意，得
BP=3t，
∴PC=8-3t．
故答案为：3t，（8-3t）；
（2）当△BPD≌△CPQ时，
BP=CP．
∵BP+CP=BC=8，
∴BP=4，
∴t=

4

3

；
当△BPD≌△CQP时，
BD=CP．
∵点D为AB的中点，
∴BD=

1

2

AB．
∵AB=10，
∴BD=5，
∴CP=5，
∴BP=3，
∴t=1．
故t=1或t=

4

3

时，△BPD和△CPQ恰好是以点B和C为对应点的全等三角形全等；
（3）设P的速度为a厘米/秒，则Q的速度为（a-1）厘米/秒．
∵BP=BD，CP=CQ，
∴BP=5，
∴at=5，
∴PC=8-5=3，
∴t（a-1）=3
∴t=2．
答：点P比点Q的运动速度每秒快1厘米，t=2时，△BPD和△CPQ恰好都是以∠B、∠C为顶角的等腰三角形．

点评：本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．