题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,BC=2 ,△ADC与△ABC关于AC对
称,点E、F分别是边DC、BC上的任意一点,且DE=CF,BE、DF相交于点P,则CP的最小值为( )
A. 1 B. C.
D. 2
【答案】D
【解析】分析:连接BD,证明△EDB≌△FCD,可得∠BPD=120°,由于BD的长确定,则点P在以A为圆心,AD为半径的弧BD上,当点A,P,C在一条直线上时,CP有最小值.
详解:连接AD,因为∠ACB=30°,所以∠BCD=60°,
因为CB=CD,所以△CBD是等边三角形,
所以BD=DC.
因为DE=CF,∠EDB=∠FCD=60°,
所以△EDB≌△FCD,所以∠EBD=∠FDC,
因为∠FDC+∠BDF=60°,
所以∠EBD+∠BDF=60°,所以∠BPD=120°,
所以点P在以A为圆心,AD为半径的弧BD上,
直角△ABC中,∠ACB=30°,BC=2,所以AB=2,AC=4,
所以AP=2.
当点A,P,C在一条直线上时,CP有最小值,
CP的最小值是AC-AP=4-2=2.
故选D.

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