Question

【题目】如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB＝4时，则CD+OD的最小值是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．

解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，

则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°-60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，

则DH=DCsin∠DCH=DCsin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得，
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
∵OF=OA=AB=2，
∴此时FH=DH+FD=OFsin∠FOH=×2=，
即CD+OD的最小值为．

故答案为：．