题目内容
已知△ACB为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点E在AC上,EF⊥AC交AB于F,连BE、CF、M、N分别为CF、BE的中点.
(1)如图1,则
=______,并说明理由;
(2)如图2,将△AEF绕点A顺时针旋转45゜,(1)中的结论是否成立?并加以证明.
(1)如图1,则
MN |
CE |
(2)如图2,将△AEF绕点A顺时针旋转45゜,(1)中的结论是否成立?并加以证明.
(1)如图1,延长EM,交BC于G,
∵FE⊥BC,∠ACB=90°,
∴EF∥BC,
∴∠MCG=∠MFE,∠MGC=∠MEF,
又∵CM=FM,
∴△CMG≌△FME,
∴MG=ME,CG=EF,
又∵BN=EN,
∴NM=
BG,
∵∠EFA=∠A=45°,
∴AE=EF=CG,
又∵BC=AB,
∴MN
=BG=
(BC-CG)=
(AC-AE)=
CE,
即
=
,
故答案为
;
(2)将△AEF绕点A顺时针旋转45゜,(1)中的结论仍旧成立,
理由如下:
取CE中点G,连结MG、NG,
则MG=
EF=
AE,NG=
BC=
AC,
∵EF与BC所成角为45°,MG∥EF,
∴MG与BC所成角为45°,又∵NG∥BC,
∴∠NGM=45°=∠BAC,
又∵
=
=
,
∴△MNG∽△ECA,
∴
=
.
∵FE⊥BC,∠ACB=90°,
∴EF∥BC,
∴∠MCG=∠MFE,∠MGC=∠MEF,
又∵CM=FM,
∴△CMG≌△FME,
∴MG=ME,CG=EF,
又∵BN=EN,
∴NM=
1 |
2 |
∵∠EFA=∠A=45°,
∴AE=EF=CG,
又∵BC=AB,
∴MN
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
即
MN |
CE |
1 |
2 |
故答案为
1 |
2 |
(2)将△AEF绕点A顺时针旋转45゜,(1)中的结论仍旧成立,
理由如下:
取CE中点G,连结MG、NG,
则MG=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∵EF与BC所成角为45°,MG∥EF,
∴MG与BC所成角为45°,又∵NG∥BC,
∴∠NGM=45°=∠BAC,
又∵
MG |
AE |
NG |
AC |
1 |
2 |
∴△MNG∽△ECA,
∴
MN |
CE |
1 |
2 |
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