题目内容

如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8。半径为的⊙M与射线BA相切,切点为N,且AN=3。将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE,点B、C的对应点分别是点D、E。
(1)画出旋转后的Rt△ADE;(只保留作图痕迹,不写作法)
(2)求出Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度;
(3)判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系,并说明理由。
解:(1)图“略”;
(2)设⊙M与DE的交点为P、Q,连结MP、MN,过M作MF⊥DE于F,则PQ=2PF,
在Rt△ABC中,AC=AB=4,所以,AE=AC=4,NE=AE-AN=4-3=1,
在Rt△PFM中,PF==
所以PQ=2
(3)AD与⊙M相切;
过点M作MH⊥AD,
在Rt△ANM中,tan∠MAN=,所以,∠MAN=30°,
因为∠DAE=∠BAC=60°,所以∠MAD=∠MAN=30°,所以,MH=MN,
所以,AD与⊙M相切。
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