题目内容
【题目】在
中，
，
，点
从点
出发沿射线
移动，同时点
从点
出发沿线段
的延长线移动，点，移动的速度相同，
与
相交于点
.
(1)如图1，过点作
，交于点
，求证：
；
(2)如图2，
，当点移动到
的中点时，求
的长度；
(3)如图3，过点作
于点
.在点从点向点
(点不与点，重合)移动的过程中，线段
与的长度是否保持不变若保持不变，请求出与的长度和；若改变，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)
的长度为
；(3)
与的长度和保持不变，和为4.
【解析】
（1）由平行的性质和等腰三角形的性质进行等边和等角转换，即可判定
；
（2）由（1）的结论和等边三角形的性质，通过等量转换即可得解；
（3）首先过点
作
，由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，即可求得与的长度保持不变．
(1)∵点，
同时移动且移动的速度相同，
，
，
又
，
，
，
，
，
.
与
相交于点
，
，
在
和
中，
，
（AAS）；
(2)过点作，交于点
，如图所示：
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
.
是
的中点，
，
.
由(1)易得，
，
，
的长度为；
(3)保持不变；
过点作，交于点，如图所示：
由(1)易得，
，
，
是等腰三角形.
，
是的中线，
，
，
与的长度和保持不变.
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