题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C

(1)求点A,B,C的坐标;

(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;

(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)点A坐标(2,0),点B坐标(4,0),点C坐标(0,2);(2);(3)M坐标为(1,1)或(1,2+)或(1.2).

【解析】

试题分析:(1)分别令y=0,x=0,解方程后即可得点A,B,C的坐标;(2)分AB为平行四边形的边和对角线两种情况求解决可;(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论,分别求解即可解决问题.

试题解析:(1)令y=0得x2x+2=0,

x2+2x8=0,

x=4或2,

点A坐标(2,0),点B坐标(4,0),

令x=0,得y=2,点C坐标(0,2).

(2)当AB为平行四边形的边,

AB=EF=6,对称轴x=1,

点E的横坐标为7或5,

点E坐标(7,)或(5,),此时点F(1,),

以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=6×=

当AB为平行四边形的对角线时,点F为抛物线的顶点,即F(-1,),所以点E的坐标为(-1,-),

以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=.

(3)如图所示,当C为顶点时,CM1=CA,CM2=CA,作M1NOC于N,

在RTCM1N中,CN==

点M1坐标(1,2+),点M2坐标(1,2).

当M3为顶点时,直线AC解析式为y=x+1,

线段AC的垂直平分线为y=x,

点M3坐标为(1,1).

当点A为顶点的等腰三角形不存在.

综上所述点M坐标为(1,1)或(1,2+)或(1.2).

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