题目内容
【题目】阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,点D,E分别在AB,BC上,且∠CDE=90°.当BE=2AD时,图1中是否存在与CD相等的线段?若存在,请找出并加以证明,若不存在,说明理由.
小明通过探究发现,过点E作AB的垂线EF,垂足为F,能得到一对全等三角形(如图2),从而将解决问题.
请回答:
(1)小明发现的与CD相等的线段是 .
(2)证明小明发现的结论;
参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:
(3)如图3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在BC上,BD=2DC,点E在AD上,且∠BEC=135°,求的值.
【答案】(1)DE(2)证明见解析(3)
【解析】
试题分析:(1)直接写出答案;
(2)先判断出∠ADC=ADC=∠FEDFED,在判断出FE=AD,即可判断出△FEDFED≌△ADCADC即可;
(3)先判断出∠FBE=FBE=∠GECGEC,进而得出△BFEBFE∽△EGC,得出,再判断出FE=2EG,即可得出结论.
试题解析:(1)DE;
故答案为:DE;
(2)证明:作EF⊥AB,垂足为F.
则∠BFE=∠DFE=90°═∠A═∠CDE.
∵∠ADC+∠CDE=∠ADE=∠DFE+∠FED,
∴∠ADC=∠FED.
∵∠BFE=90°,∠B=30°,
∴BE=2FE.
∵BE=2AD,
∴FE=AD.
在△FED和△ADC中,
∴△FED≌△ADC.
∴DE=CD
(3)如图3,
过点E作BC的平行线,与AB、AC分别相交于点F、G.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵FG∥BC,
∴∠AFG=∠ABC=∠ACB=∠AGF=45°,∠BFE=135°=∠EGC.
∴AF=AG.BF=GC.
∵∠GEC+∠CEB=∠GEB=∠EFB+∠FBE,
∴∠FBE=∠GEC
∴△BFE∽△EGC.
∴,
∵FG∥BC,
∴△AFE∽△ABD,△AFG∽△ADC,
∴,
∴
∵BD=2DC,
∴FE=2EG,
∴,
∴,
∴