题目内容

【题目】阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题:

如图1,ABC中,A=90°,B=30°,点D,E分别在AB,BC上,且CDE=90°.当BE=2AD时,图1中是否存在与CD相等的线段?若存在,请找出并加以证明,若不存在,说明理由.

小明通过探究发现,过点E作AB的垂线EF,垂足为F,能得到一对全等三角形(如图2),从而将解决问题.

请回答:

(1)小明发现的与CD相等的线段是

(2)证明小明发现的结论;

参考小明思考问题的方法,解决下面的问题:

(3)如图3,ABC中,AB=AC,BAC=90°,点D在BC上,BD=2DC,点E在AD上,且BEC=135°,求的值.

【答案】(1)DE(2)证明见解析(3)

【解析】

试题分析:(1)直接写出答案;

(2)先判断出ADC=ADC=FEDFED,在判断出FE=AD,即可判断出FEDFED≌△ADCADC即可;

(3)先判断出FBE=FBE=GECGEC,进而得出BFEBFE∽△EGC,得出,再判断出FE=2EG,即可得出结论.

试题解析:(1)DE;

故答案为:DE;

(2)证明:作EFAB,垂足为F.

BFE=DFE=90°═∠A═∠CDE.

∵∠ADC+CDE=ADE=DFE+FED,

∴∠ADC=FED.

∵∠BFE=90°,B=30°,

BE=2FE.

BE=2AD,

FE=AD.

FED和ADC中,

∴△FED≌△ADC.

DE=CD

(3)如图3,

过点E作BC的平行线,与AB、AC分别相交于点F、G.

AB=AC,BAC=90°,

∴∠ABC=ACB=45°.

FGBC,

∴∠AFG=ABC=ACB=AGF=45°,BFE=135°=EGC.

AF=AG.BF=GC.

∵∠GEC+CEB=GEB=EFB+FBE,

∴∠FBE=GEC

∴△BFE∽△EGC.

FGBC,

∴△AFE∽△ABD,AFG∽△ADC,

BD=2DC,

FE=2EG,

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