Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．
（1）求b、c的值；
（2）请你在图10中画出这条抛物线的大致图象；
（3）若点D在此抛物线的对称轴上，且到A、C两点的距离之和最短，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）由二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，利用待定系数法即可求得b、c的值；
（2）由（1）可得此二次函数的解析式为：y=x²-2x-3，然后即可求得函数的顶点坐标，即可画出图象；
（3）由点A关于对称轴x=1的对称点是点B，连接BC交对称轴于点D，则可得点D即为所求，然后设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，则可求得点D的坐标．

解答：解：（1）把A（-1，0）和B（3，0）代入y=x²+bx+c得：

(-1)2-b+c=0 32+3b+c=0.

解得

b=-2 c=-3

，
所以b=-2，c=-3．（3分）

（2）由（1）可得：此二次函数的解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标为（1，-4），C（0，-3），
∴图象如图所示；（5分）

（3）点A关于对称轴x=1的对称点是点B，连接BC交对称轴于点D，则点D即为所求，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0）、C（0，-3）代入解析式得

3k+b=0 b=-3

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为：y=x-3，（7分）
∴当x=1时，y-2，
∴D点的坐标为（1，-2）．（9分）

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象的画法以及距离之和最短问题．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．注意解决距离之和最短问题是找到所要求的点的位置．