Question

（2012•金平区模拟）如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=8，过A作直线PQ，若∠PAC=∠ABC．
（1）求证：PQ是半圆O的切线；
（2）若点M从点C出发，沿线段CA向点A运动，N从点A出发，沿射线AP方向运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，点M运动到A即停止，设运动时间为t秒．
①设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△AMN的面积最大，最大值是多少？
②当△AMN为等腰三角形时，求运动时间t的值．

Answer 1

分析：（1）欲证PQ是半圆O的切线，只需证明PQ⊥AB即可；
（2）①如图1，作ND⊥AC，垂足为D，构建相似三角形△NAD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例知

ND

AC

=

NA

AB

，由此可以求得ND=

4

5

t；然后根据三角形的面积公式可以求得S与t之间的函数关系式；最后根据二次函数最值的求法来求，△AMN的面积的最大值；
②需要分类讨论：求当AN为底、AM为底、MN为底三种情况下的时间t的值．

解答：（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ABC+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠PAC=∠ABC（已知），
∴∠PAB=∠PAC+∠BAC=90°（等量代换），
∴PQ⊥AB，
∴PQ是半圆O的切线；

（2）解：①如图1，作ND⊥AC，垂足为D，则∠ADN=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADN=∠ACB（等量代换）；
∵∠PAC=∠ABC，即∠NAD=∠ABC，
∴△NAD∽△ABC，
∴

ND

AC

=

NA

AB

（相似三角形的对应边成比例），
∵AB=10，AC=8，AN=CM=t，
∴

ND

8

=

t

10

，
∴ND=

4

5

t，
∴S=

1

2

×AM×ND=

1

2

×(8-t)×

4

5

t=-

2

5

t2+

16

5

t=-

2

5

(t-4)2+

32

5

，
∴当t=4时，△AMN的面积最大，最大值是

32

5

；                     

②在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6，
∴cos∠CBA=

BC

AB

=

3

5

；
如图2，若MN=MA，作ME⊥AP，垂足为E，∴AE=

1

2

AN=

1

2

t，
在Rt△AEN中，cos∠MAE=

AE

AM

=cos∠CBA=

3

5

，
∴

1 2 t

8-t

=

3

5

，
∴t=

48

11

；
如图3，若AN=NM，作NF⊥AC，垂足为F，则AF=

1

2

×AM=

1

2

×(8-t)=4-

1

2

t，
在Rt△AFN中，cos∠NAF=

AF

AN

=cos∠CBA=

3

5

，
∴

4- 1 2 t

t

=

3

5

，
∴t=

40

11

，
若AN=AM，有t=8-t，则t=4；       
故当△AMN为等腰三角形时，t的值为

40

11

、4或

48

11

．

点评：本题考查了圆的综合题：圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）、勾股定理、三角形的面积公式、二次函数的最值的求法以及等腰三角形的性质等知识点的综合运用．注意：在解答（2）②题时，需要对等腰△AMN的底边进行分类讨论，以防漏解．