题目内容
(2012•金平区模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC的周长最小?若存在,请直接写出△PBC周长的最小值与点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)判断△ABC的形状,证明你的结论;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PBC的周长最小?若存在,请直接写出△PBC周长的最小值与点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)把点A、B的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答即可,把函数解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标;
(2)根据二次函数解析式求出点C的坐标,然后求出OA、OB、OC的长,再求出AB,利用勾股定理列式求出BC2、AC2,然后根据勾股定理逆定理解答;
(3)根据轴对称确定最短路线问题,AC与对称轴的交点即为所求的点P,利用勾股定理列式求出AC的长,则周长最小值=AC+BC,再求出直线AC的解析式,然后把顶点的横坐标代入解析式计算求出y值,即可得到点P的坐标.
(2)根据二次函数解析式求出点C的坐标,然后求出OA、OB、OC的长,再求出AB,利用勾股定理列式求出BC2、AC2,然后根据勾股定理逆定理解答;
(3)根据轴对称确定最短路线问题,AC与对称轴的交点即为所求的点P,利用勾股定理列式求出AC的长,则周长最小值=AC+BC,再求出直线AC的解析式,然后把顶点的横坐标代入解析式计算求出y值,即可得到点P的坐标.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点,
∴
,
解得
,
∴抛物线的解析式为y=-
x2-
x+2,
∵y=-
x2-
x+2=-
(x2+3x+
-
)+2=-
(x+
)2+
,
∴顶点D的坐标为(-
,
);
(2)△ABC是直角三角形.
证明如下:当x=0时y=2,∴C(0,2),OC=2,
∵A(-4,0)、B(1,0),
∴OA=4,OB=1,AB=5,
∴AB2=25,
在Rt△AOC与Rt△BOC中,
AC2=OA2+OC2=20,BC2=OC2+OB2=5,
∴AC2+BC2=AB2;
∴△ABC是直角三角形;
(3)存在.
∵A、B关于对称轴直线x=-
对称,
∴AC与对称轴的交点即为点P,
根据勾股定理,AC=
=2
,
∵BC2=OC2+OB2=5,
∴BC=
,
∴最小周长=PB+PC+BC=AP+PC+BC=AC+BC=2
+
=3
,
设直线AC的解析式为y=kx+m,
则
,
解得
,
所以,直线AC的解析式为y=
x+2,
x=-
时,y=
×(-
)+2=
,
所以,点P的坐标为(-
,
).
∴
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=-
1 |
2 |
3 |
2 |
∵y=-
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
9 |
4 |
9 |
4 |
1 |
2 |
3 |
2 |
25 |
8 |
∴顶点D的坐标为(-
3 |
2 |
25 |
8 |
(2)△ABC是直角三角形.
证明如下:当x=0时y=2,∴C(0,2),OC=2,
∵A(-4,0)、B(1,0),
∴OA=4,OB=1,AB=5,
∴AB2=25,
在Rt△AOC与Rt△BOC中,
AC2=OA2+OC2=20,BC2=OC2+OB2=5,
∴AC2+BC2=AB2;
∴△ABC是直角三角形;
(3)存在.
∵A、B关于对称轴直线x=-
3 |
2 |
∴AC与对称轴的交点即为点P,
根据勾股定理,AC=
42+22 |
5 |
∵BC2=OC2+OB2=5,
∴BC=
5 |
∴最小周长=PB+PC+BC=AP+PC+BC=AC+BC=2
5 |
5 |
5 |
设直线AC的解析式为y=kx+m,
则
|
解得
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所以,直线AC的解析式为y=
1 |
2 |
x=-
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
5 |
4 |
所以,点P的坐标为(-
3 |
2 |
5 |
4 |
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,顶点坐标的求解,勾股定理逆定理的应用,利用轴对称确定最短路线问题,(3)根据轴对称的性质确定出点P的位置是解题的关键.
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