Question

若关于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是________．

Answer 1

3＜m≤4
分析：根据原方程可知x-2=0，和x²-4x+m=0，因为关于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三个根，所以x²-4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围．
解答：∵关于x的方程（x-2）（x²-4x+m）=0有三个根，
∴①x-2=0，解得x₁=2；
②x²-4x+m=0，
∴△=16-4m≥0，即m≤4，
∴x₂=2+，
x₃=2-，
又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
且最长边为x₂，
∴x₁+x₃＞x₂；
解得3＜m≤4，
∴m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为：3＜m≤4．
点评：本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系．解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边．