题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，在BD上有一动点G以每秒1个单位的速度从点D出发至点B，以G为直角顶点作等腰Rt△EFG，使得GE∥AD，GF∥AB，且GE=6．（1）线段BD的长度是
（2）点G在运动过程中，求出矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式及其自变量取值范围．
分析：（1）根据矩形的性质得到∠A=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）有4种情况①当点E在AB上时，根据△BEG∽△BAD得出
=
，求出t=10，当0≤t≤10时s=18；②当点F在BC上时，由△BFG∽△BCD，得出比例式即可求出t=12.5，当10＜t≤12.5时，S=18-
(
t-6)2，③当点E、F均在矩形ABCD外侧，且EF与BD有交点时，由△BMG∽△BAD和△BKG∽△BCD，推出
=
，令MG=x，则KG=6-x，
=
，求出x，进一步求出t，当12.5＜t≤
时，S=
×6×6-
(
t-10)2-
(
t-6)2，④如图，当EF与BD没有交点时，即
＜t≤20时，S=GM•GK，代入求出即可．
（2）有4种情况①当点E在AB上时，根据△BEG∽△BAD得出
| BG |
| BD |
| EG |
| AD |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| MG |
| AD |
| KG |
| CD |
| 6-x |
| 16 |
| x |
| 12 |
| 110 |
| 7 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 110 |
| 7 |
解答：
解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∵AB=16，AD=12，
由勾股定理得：BD=
=
=20，
故答案为：20．
（2）①如图，当点E在AB上时，
∵EG∥AD，
∴△BEG∽△BAD，
∴
=
，
∴
=
，
解得t=10，
∴当0≤t≤10时，
S=
×6×6=18，
②如图，当点F在BC上时，
∵FG∥CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴
=
，
∴
=
，
解得t=12.5，
∴当10＜t≤12.5时，
S=18-
(
t-6)2=-
t2+
t，
③如图，当点E、F均在矩形ABCD外侧，
且EF与BD有交点时，
∵EG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，
∴
=
，
∵FG∥CD，
∴△BKG∽△BCD，
∴
=
，
∴
=
，
令MG=x，则GK=6-x，
∴
=
，
∴x=
，
∵
=
，
∴t=
，
∴当12.5＜t≤
（当t=
时，EF过B点）时，
S=
×6×6-
（
t-6）2-
（
t-6）2，
=-
t2-18，
④当EF与BD没有交点时，
即
＜t≤20时，
S=GM•GK=(12-
t)(16-
t)=
t2-
t+192，
答：矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式是s=18（0≤t≤10）或s=-
t2+
t（10＜t≤12.5）或
S=-
t2+
t-50（12.5＜t≤
）或S=
t2-
t+192（
＜t≤20）．
解：（1）∵矩形ABCD，∴∠A=90°，
∵AB=16，AD=12，
由勾股定理得：BD=
| AD2+AB2 |
| 162+122 |
故答案为：20．
（2）①如图，当点E在AB上时，
∵EG∥AD，
∴△BEG∽△BAD，
∴
| BG |
| BD |
| EG |
| AD |
∴
| 20-t |
| 20 |
| 6 |
| 12 |
解得t=10，
∴当0≤t≤10时，
S=
| 1 |
| 2 |
②如图，当点F在BC上时，∵FG∥CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴
| BG |
| BD |
| FG |
| CD |
∴
| 20-t |
| 20 |
| 6 |
| 16 |
解得t=12.5，
∴当10＜t≤12.5时，
S=18-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 50 |
| 18 |
| 5 |
③如图，当点E、F均在矩形ABCD外侧，且EF与BD有交点时，
∵EG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，
∴
| BG |
| BD |
| MG |
| AD |
∵FG∥CD，
∴△BKG∽△BCD，
∴
| BG |
| BD |
| KG |
| CD |
∴
| MG |
| AD |
| KG |
| CD |
令MG=x，则GK=6-x，
∴
| 6-x |
| 16 |
| x |
| 12 |
∴x=
| 18 |
| 7 |
∵
| 20-t |
| 20 |
| ||
| 12 |
∴t=
| 110 |
| 7 |
∴当12.5＜t≤
| 110 |
| 7 |
| 110 |
| 7 |
S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
=-
| 16 |
| 25 |
④当EF与BD没有交点时，
即
| 110 |
| 7 |
S=GM•GK=(12-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 25 |
| 96 |
| 5 |
答：矩形ABCD与△EFG重叠面积S与时间t函数关系式是s=18（0≤t≤10）或s=-
| 9 |
| 50 |
| 18 |
| 5 |
S=-
| 1 |
| 2 |
| 58 |
| 5 |
| 110 |
| 7 |
| 12 |
| 25 |
| 96 |
| 5 |
| 110 |
| 7 |
点评：本题主要考查对矩形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．
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